И. Р. Шафаревич

 

О некоторых тенденциях развития математики

(Лекция по случаю официального вручения

Хейнемановской премии Геттингенской Академии Наук)

 

Всякое существо склонно воспринимать среду своего обитания как нечто безусловное, что и не может быть другим и что поэтому не порождает никаких вопросов. Так относится и математик к своей науке,— и только из­редка, когда представляется повод взглянуть на нее со стороны, он вдруг замечает, с каким странным, в сущно­сти неправдоподобным явлением имел дело всю жизнь. Для меня таким поводом было лестное предложение ска­зать здесь несколько слов о математике моим коллегам, работающим в далеких от нее областях науки.

При поверхностном наблюдении математика представ­ляется плодом трудов многих тысяч мало связанных ин­дивидуальностей, разбросанных по континентам, векам и тысячелетиям. Но внутренняя логика ее развития гораздо больше напоминает работу о д н о г о интеллекта, не­прерывно и систематически" развивающего свою мысль, лишь использующего как средство многообразие человече­ских личностей. Как бы в оркестре, исполняющем кем-то написанную симфонию, тема переходит от одного инстру­мента к другому, и когда один исполнитель вынужден прервать свою партию, ее точно как по нотам, продол­жает другой.

Поверьте, это не риторическая фигура! История мате­матики знает очень много примеров того, что открытие, сделанное одним ученым, остается неизвестным, а позже с поразительной точностью воспроизводится другим. В письме, написанном ночью перед дуэлью, окончившейся его гибелью, Галуа высказал несколько утверждений иск­лючительной важности об интегралах алгебраических функций. Более чем двадцать лет спустя Риман, который, безусловно, не знал о письме Галуа, вновь нашел и дока­зал в точности те же утверждения. Или: после того как Лобачевский и Болиаи независимо друг от друга положи­ли начало неевклидовой геометрии, выяснилось, что два человека — Гаусс и Швейкарт более чем за 10 лет до  этого тоже независимо друг от друга пришли к тем же результатам. Странное чувство испытываешь, видя одни и те же чертежи, как будто начерченные одной рукой в трудах четырех ученых, работавших совершенно незави­симо друг от друга.

Невольно приходишь к мысли, что такая поразитель­ная, загадочная деятельность человечества, длящаяся не­сколько тысячелетий, не может быть случайной, должна иметь какую-то цель. А признав это, мы с необходимо­стью приходим к вопросу:  в  ч е м  с о с т о и т  э т а  ц е л ь ?

Как может целая наука — не один только ее раздел и не в один лишь период ее развития — иметь единую цель? Попробуем усмотреть это на примере физики, кото­рая всегда была так тесно связана с математикой. Ко времени Ньютона перед физикой вырисовалась захватыва­ющая цель: построить теорию (или, как тогда говорили, систему) мира, то есть заключить всю вселенную в не­сколько простых законов, из которых многообразие физи­ческого мира может быть выведено чисто логически. Дол­гое время казалось, что Ньютон эту задачу в принципе решил, а на долю его последователей осталась лишь про­верка того, что все известные явления описываются его системой. Только на периферии физики теория электри­чества не хотела укладываться в эту схему. Но в XIX в. именно явления электромагнетизма стали центром физи­ки, и хотя этим была поколеблена ньютонианская концепция, зато возникла надежда, что ньютоновская меха­ника, дополненная максвелловской теорией электромаг­нитного поля, позволит создать полную и окончательную систему мира. Однако и этим ожиданиям не было сужде­но сбыться, — квантовая механика и теория относительно­сти вскоре разбили все старые концепции. Одно время физиков подогревало стремление извлечь из единой тео­рии поля или из релятивистской квантовой механики полную теорию элементарных частиц и новую систему мира. Этого до сих пор не произошло, и вряд ли многие физики сейчас считают такие надежды реальными. Во всяком случае, если некоторое единство в физической картине мира когда-нибудь и восстановится, трудно будет после стольких перестроек верить в окончательность этой системы.

Возвращаясь к математике, мы должны будем при­знать, что та глобальная цель, которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела. Как же это отражается на ее развитии?

Математика растет стремительно и непрерывно, не зная типичных для физики перестроек и кризисов, обога­щая нас все новыми идеями и конкретными фактами. Я глубоко убежден, что достижения современной математи­ки не менее совершенны, чем творения классиков XIX, XVIII и XVII вв., что они могут даже выдержать сравне­ние с плодами эллинского гения. Но ведь и прекрасней­шие из современных достижений ни в чем принципиально не превосходят классические! Какова же ценность неогра­ниченного накопления идей, в принципе одинаково глубо­ких? Не превращается ли математика в поразительно красивый вариант «дурной бесконечности» Гегеля?

Любая деятельность, лишенная цели, тем самым теря­ет и смысл. И если сравнить человечество с живым орга­низмом, то математика окажется непохожей на осмыслен­ную, целенаправленную деятельность. Скорее она анало­гична инстинктивным действиям, которые могут стерео­типно повторяться, пока работает некий внешний или внутренний возбудитель.

Не имея цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей остается в качестве иде­ала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям. Используя другое сравнение, можно сказать, что развитие математики не похоже на рост жи­вого организма, который сохраняет свою форму, сам оп­ределяя свои границы. Оно больше напоминает рост кри­сталла или диффузию газа, которые будут распростра­няться неограниченно, пока не встретятся с внешним пре­пятствием.

Очевидно, что такое развитие науки противоречит ощущению осмысленности и красоты, которое непреодоли­мо возникает при соприкосновении с математикой, — по­добно тому, как невозможна бесконечно продолжающаяся прекрасная симфония.

Но только ли в нашей науке встает эта проблема? Я не думаю, что математика радикально отличается от дру­гих форм культурной деятельности. Однако ее объекты более абстрактны, в ней происходит отвлечение от большего числа случайных свойств. Как говорил Платон, в ней больше от познания чистого бытия и меньше — от мнений о предметах видимого мира, в ней «как бы грезят о сущем». Поэтому в математике ясно различимы законо­мерности, хотя и универсальные, но лишь смутно видимые в других областях. В частности, то отсутствие целей и формы, о котором мы говорили выше, относится, как мне кажется, почти ко всей жизни современного челове­чества. Так, наряду с математикой, развивающейся без цели, мы видели пример физики, в погоне за непосиль­ной, видимо, ей целью теряющей представление о какой-либо цели вообще.

Бесформенная, лишенная иной цели и смысла, кроме неограниченного расширения, лихорадочная деятельность уже несколько веков как захватила человечество. Она по­лучила название «прогресса» и на некоторое время стала чем-то вроде суррогата религии. Ее последним порожде­нием является современное индустриальное общество. Уже много раз указывалось на то, что эта гонка содержит в себе внутреннее противоречие, приводит к катастрофическим материальным последствиям: все возрастающему, непосильному для человека темпу изменений жизни, пере­населенности, уничтожению окружающей среды. На при­мере математики я хочу обратить внимание на не менее разрушительные духовные последствия: человеческая дея­тельность лишается глобальной цели, становится бессмыс­ленной.

Опасность здесь не только отрицательная, она заклю­чается не только в том, что напряженные усилия челове­чества, жизнь его наиболее талантливых представителей не освещаются пониманием их смысла. Она не исчерпы­вается и тем, что, не понимая цели своих действий, мы не можем предвидеть и их результатов. Духовная консти­туция человечества не позволяет ему долго мириться с деятельностью, цель и смысл которой ему не даны. И здесь, как и во многих других явлениях, вступает в силу механизм замещения — не найдя того, что им необходи­мо, люди не успокаиваются на этом, но прибегают к суррогатам. Пример этого нам всем хорошо известен — по­рвав связь с Богом милосердия и любви, люди тотчас со­здали себе других богов, требующих миллионов человече­ских жертв. Согласно тому же закону, когда культурная деятельность человечества лишена ясного понимания сво­их целей, она пытается заимствовать себе осмысление из других источников. В частности, математик ищет смысл своей работы в выполнении заказа государства, которому он готов рассчитать траекторию ракеты или подслушива­ющий аппарат, а если это ученый крупного масштаба,— то спланировать и целое общество, состоящее из гибридов людей и компьютеров. Такая установка уродует не одни только души ученых, — появляются области математики, лишенные той божественной красоты, которая зачаровы­вает всех, знакомых с нашей наукой.

Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика, по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой может на­правляться ее развитие. Она должна, следовательно, за­имствовать ее извне. Разумеется, я далек от того, чтобы пытаться указать решение этой глубокой, не только внутриматематической, но и общечеловеческой проблемы. Я хочу лишь указать на основные направления, в которых возможен поиск решения.

По-видимому, таких направлений есть два. Во-первых, можно пытаться извлечь цель математики из ее практи­ческих приложений. Но трудно поверить, что более высо­кая — духовная деятельность найдет свое оправдание в более низкой — материальной. В открытом в 1945 г. «Евангелии от Фомы» Иисус иронически говорит:

«Если плоть произошла ради духа, это — чудо. Если же дух ради тела, это — чудо из чудес».

Вся история математики — убедительное доказатель­ство того, что «чудо из чудес» невозможно. Если мы по­смотрим на решающий в развитии математики момент, когда она сделала свой первый и самый значительный для человечества шаг и возникла та основа, на которой она зиждется — логическое доказательство, то увидим, что произошло это на материале, который просто исклю­чал возможность практических приложений. Первые тео­ремы Фалеса Милетского устанавливали истины, очевид­ные для каждого здравомыслящего человека — вроде то­го, что диаметр делит круг на две равные части. Гени­альность нужна была не для того, чтобы увериться в справедливости этих положений, а для того, чтобы по­нять, что они нуждаются в доказательстве. Очевидно, что практическая ценность таких открытий — нулевая.

И в наше время, как ни разнообразны и глубоки при­ложения математики, отнюдь не под их влиянием возник­ли ее самые прекрасные достижения. Как же можно тогда ожидать, что приложения математики дадут ей эту цель, которую она не смогла найти своими внутренними си­лами?

Если мы, таким образом, отбросим этот путь, то оста­нется, как мне кажется, только одна возможность: цель математике может дать не низшая сравнительно с ней, а высшая сфера человеческой деятельности — религия.

Конечно, сейчас очень трудно представить себе, как это может произойти. Но еще труднее вообразить, как математика сможет вечно развиваться, не зная, ни что, ни зачем она изучает. Да уже в следующем поколении она, погибнет, захлестнутая потопом публикаций. А ведь это еще самая элементарная, внешняя причина.

С другой стороны, в принципе такое решение возмож­но — это доказано историей. Обратившись опять к той эпохе, когда математика только возникла, мы увидим, что тогда она знала свою цель и получила она ее именно на этом пути. Математика сложилась как наука в VI в. до Р. X. в религиозном союзе пифагорейцев и была час­тью их религии. Она имела ясную цель — это был путь слияния с божеством через постижение гармонии мира, выраженной в гармонии чисел. Именно эта высокая цель дала тогда силы, необходимые для научного подвига, ко­торому принципиально не может быть равного: не откры­тия прекрасной теоремы, не создания нового раздела ма­тематики, но создания самой математики.

Тогда, почти в самый момент ее рождения, уже обна­ружились те свойства математики, благодаря которым в ней яснее, чем где-либо, проявляются общечеловеческие тенденции. Именно поэтому тогда математика послужила моделью, на которой были выработаны основные принци­пы дедуктивной науки.

Кончая, я хочу выразить надежду, что по той же причине она теперь может послужить моделью для реше­ния основной проблемы нашей эпохи:

 

ОБРЕСТИ ВЫСШУЮ РЕЛИГИОЗНУЮ ЦЕЛЬ

И СМЫСЛ КУЛЬТУРНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

ЧЕЛОВЕЧЕСТВА.

 

Впервые опубликовано в журнале «Jahrbuch der Akademie der Wissenschaften in Gettingen», Gettingen, 1973.