Книга III
Двухбуквенная диаграмма

Глава I
СИМВОЛЫ И КЛЕТКИ

Во-первых, предположим, что изображенная ниже диаграмма служит «вместилищем» для определенного класса предметов, который мы избрали «Вселенной рассмотрения», или, более кратно, просто «Вселенной».

xy

xy'

x'y

x'y'

Во-вторых, предположим, что мы выделили некоторую особенность (ее можно обозначить буквой x) и разделили весь класс предметов, для которых предназначена диаграмма, на два меньших подкласса с видовыми отличиями x и не-x (последнее можно обозначить x'). Условимся считать, что северная половина диаграммы отведена одному подклассу (который мы будем называть «классом x-предметов», или «x-классом»), а южная половина — другому (его мы будем называть «классом x'-предметов», или «x'-классом»). Пусть, например, x означает «старые», тогда x' означает «новые». Разделим все книги на два класса с видовыми отличиями «старые» и «новые» и отведем для «старых книг» северную половину диаграммы, а для «новых» — южную.

В-третьих, предположим, что мы выбрали другую особенность (обозначим ее буквой y), разбили x-класс на два подкласса с видовыми отличиями y и y' и отвели для одного из подклассов (его мы будем называть xy-классом) северо-западную клетку, а для другого (его естественно назвать «xy'-классом») — северо-восточную клетку. Например, можно условиться, что y означает «английские». Тогда y' будет означать «иностранные (неанглийские)». Подразделим все «старые книги» на два класса с видовыми отличиями «английские» и «иностранные» и отведем северо-западную клетку для «старых английских книг», а северо-восточную клетку — для «старых иностранных книг».

В-четвертых, предположим, что мы точно таким же образом разбили x'-класс и отвели юго-западную клетку для x'y-класса и юго-восточную — для x'y'-класса. Например, можно предположить, что мы разбили «новые книги» на два класса — «новые английские книги» и «новые иностранные книги» — и отвели юго-западную клетку для первого из них и юго-восточную — для второго.

Ясно, что если бы мы начали с разбиения всего класса на y- и y'-классы, а затем перешли к разбиению по признакам x и x', то в результате получились бы те же четыре класса. Следовательно, вся западная половина диаграммы отводится y-классу, а вся восточная — y'-классу. Так, при рассмотрении предыдущего примера мы обнаружили бы, что вся западная половина диаграммы отведена «английским книгам», а вся восточная — «иностранным книгам». Четыре различных класса книг распределились бы по четырем клеткам диаграммы следующим образом:

Старые

английские

книги

Старые

иностранные

книги

Новые

английские

книги

Новые

иностранные

книги

Читатель не должен упускать из виду, что, говоря об «x-предметах», мы понимаем «предметы» в смысле той особой разновидности предметов, для которой предназначена вся диаграмма. Например, если мы говорим: «Пусть Вселенной будут книги», то понимать это нужно в том смысле, что вся наша диаграмма содержит только книги. Если x означает в этом случае «старые», то выражение «x-предметы» будет означать «старые книги».

Не следует переходить к следующей главе до тех пор, пока вы не научитесь, не задумываясь, называть особенность, приписанную любой из клеток, перечисленных в правом столбце таблицы I.

ТАБЛИЦА I

Особенности классов

Соответствующие классам клетки или части диаграммы

x

Северная половина диаграммы

x'

Южная половина диаграммы

y

Западная половина диаграммы

y'

Восточная половина диаграммы

xy

Северо-западная клетка

xy'

Северо-восточная клетка

x'y

Юго-западная клетка

x'y'

Юго-восточная клетка

Столь же необходимо уметь, не задумываясь, называть клетки, соответствующие особенностям, перечисленным в левом столбце той же таблицы.

Если вам захочется проверить, насколько прочно вы все усвоили, то лучше всего передать книгу в руки вашего «гениального» друга и, оставив себе лишь пустую диаграмму, попросить его «погонять» вас по таблице. Чем более хитрую тактику изберет ваш гениальный друг, тем лучше. Вопросы и ответы должны быть примерно такими:

Вопрос. Каким признаком обладает западная половина?
Ответ. y.
Вопрос. Часть доски для xy'?
Ответ. Северо-восточная клетка.
Вопрос. Каким признаком обладает юго-западная клетка?
Ответ. x'y.
и т.д., и т.п.

Попрактиковавшись немного, вы сможете отвечать на вопросы вашего гениального друга, не прибегая к помощи пустой диаграммы, поскольку научитесь видеть ее мысленно («своим мысленным взором, Горацио!»). Достигнув этого уровня, вы можете спокойно приступать к чтению следующей главы.

 

Глава II
ФИШКИ

Условимся считать, что красная фишка, поставленная на любую клетку, означает: «Эта клетка занята» (то есть «В этой клетке имеется по крайней мере один предмет»). Условимся также, что красная фишка, стоящая на границе между двумя клетками, означает: «Половина диаграммы, образуемая этими двумя клетками, занята, но какая именно из двух клеток занята — неизвестно». Следовательно, красную фишку, стоящую на границе между двумя клетками, можно интерпретировать так: «По крайней мере одна из этих двух клеток занята, но возможно, что заняты обе клетки». Наши остроумные американские кузины говорят о человеке, который не знает, в какую из двух политических партий ему вступить, что он «сидит на стенке». Это выражение как нельзя лучше подходит к такой позиции красной фишки.

Наконец, условимся считать, что черная фишка, стоящая на клетке, означает: «Эта клетка пуста» (то есть «В этой клетке ничего нет»).

Рекомендуем читателю обзавестись 4 красными и 5 черными фишками.

 

Глава III
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ НА ДИАГРАММЕ

§ 1. Предварительные замечания

Впредь, формулируя такие суждения, как «Некоторые x-предметы существуют» или «Ни один x-предмет не существует», я буду опускать слово «предметы»  (читатель при желании может его подставить сам) и записывать их так: «Некоторые x существуют» или «Ни один x не существует». Замечу еще раз, что слово «предметы» употребляется здесь в особом смысле, подробное разъяснение которого дано выше.

Суждение, содержащее лишь одну из букв, используемых в качестве символов различных признаков, называется однобуквенным. Таковы, например, суждения «Некоторые x существуют», «Ни один y' не существует» и т.д.

Суждение, содержащее две буквы, называется  двухбуквенным. Таковы, например, суждения «Некоторые xy' существуют», «Ни один x не есть y» и т.д.

О суждении говорят, что оно записано в  терминах входящих в него букв независимо от того, имеют ли эти буквы штрих или нет. Например, о суждениях «Некоторые xy' существуют», «Ни один x' не есть y» и т.д. можно сказать, что они записаны в терминах x и y.

 

§ 2. Представление суждений существования на диаграмме

Прежде всего рассмотрим суждение «Некоторые x существуют». Обратите внимание, что это суждение (как мы уже объясняли раньше) эквивалентно суждению «Некоторые реально существующие предметы суть x-предметы». Оно утверждает, что в северной половине диаграммы находится по крайней мере один предмет, то есть что северная половина диаграммы занята. На диаграмме мы можем изобразить эту ситуацию, поставив красную фишку на границу между двумя клетками, образующими северную половину диаграммы.

В примере с книгами такое положение красной фишки означало бы: «Некоторые старые книги существуют».

Рассмотрим далее суждение «Ни один x не существует». Оно говорит нам, что в северной половине диаграммы ничего нет, то есть что северная половина диаграммы пуста, или что обе клетки — северо-западная и северо-восточная, — образующие северную половину диаграммы, пусты. Следовательно, это суждение на диаграмме мы можем изобразить, поставив по черной фишке на северо-западную и северо-восточную клетки:

Читатель, может быть, думает, что достаточно было бы поставить одну черную фишку на границу между клетками, образующими северную половину диаграммы, рассуждая, по-видимому, так: «Раз красная фишка, «сидящая на стенке», означает «Эта половина диаграммы занята», то почему бы черной фишке, «сидящей на стенке», не означать «Эта половина диаграммы пуста»?» Такое рассуждение неверно. Мы видели, что красная фишка, поставленная на границу между двумя клетками, означает: «По крайней мере, одна из этих двух клеток занята, возможно, что заняты обе клетки». Следовательно, черная фишка означала бы: «По крайней мере одна из этих двух клеток пуста, возможно, что пусты обе клетки». Мы же хотим изобразить на диаграмме ситуацию, когда обе клетки заведомо пустые, а это можно сделать, лишь поставив по одной черной фишке на каждую из клеток. В примере с книгами пустая северная половина диаграммы означала бы: «Ни одна старая книга не существует».

Рассмотрим далее суждение «Некоторые xy существуют». В нем утверждается, что в северо-западной клетке имеется по крайней мере один предмет, то есть что северо-западная клетка занята. Эту ситуацию мы изобразим, поставив на северо-западную клетку красную фишку:

В примере с книгами суждению «Некоторые xy существуют» соответствует суждение «Некоторые старые английские книги существуют».

Рассмотрим далее суждение «Ни один xy не существует».В нем утверждается, что в северо-западной клетке ничего нет, то есть что северо-западная клетка пуста. Эту ситуацию на диаграмме мы можем изобразить, поставив на северо-западную клетку черную фишку:

В примере с книгами суждение «Ни один xy не существует» имеет вид суждения «Ни одна старая английская книга не существует».

Мы видели, что суждение «Ни один x не существует» можно изобразить на диаграмме, поставив на ее северную половину две черные фишки: по одной на каждую клетку.

Мы также видели, что эти две черные фишки, если рассматривать их порознь, означают два суждения: «Ни одни xy не существует» и «Ни один xy' не существует».

Следовательно, суждение «Ни один x не существует» — двойное и эквивалентно двум следующим суждениям: «Ни один xy не существует» и «Ни один xy' не существует». В примере с книгами суждение «Ни один x не существует» означало бы «Ни одна старая книга не существует».

Из сказанного следует, что последнее суждение принадлежит к числу двойных суждений и эквивалентно двум следующим: «Ни одна старая английская книга не существует» и «Ни одна старая иностранная книга не существует».

 

§ 3. Представление суждений отношения на диаграмме

Начнем с суждения «Некоторые x суть y». Оно утверждает, что по крайней мере один предмет, находящийся на северной половине диаграммы, находится одновременно и на западной половине. Следовательно, он должен находится на территории, принадлежащей одновременно и северной, и западной половинам, то есть на северо-западной клетке. Отсюда мы заключаем, что северо-западная клетка занята. На диаграмме эту ситуацию можно изобразить, поставив на северо-западную клетку красную фишку:

Обратите внимание на то, что субъект суждения указывает, какой из двух половин диаграммы мы можем воспользоваться, а предикат суждения — на какую клетку (то есть на какую часть) рассматриваемой половины мы должны поставить красную фишку. В примере с книгами суждение «Некоторые x суть y» имеет вид «Некоторые старые книги английские».

Рассмотрим далее суждение «Некоторые y суть x». В нем утверждается, что по крайней мере один предмет, находящийся на западной половине диаграммы, находится также и на ее северной половине. Следовательно, он должен лежать в клетке, общей для той и другой половины, то есть в северо-западной клетке. Эту ситуацию мы можем изобразить на диаграмме, поставив на северо-западную клетку красную фишку:

В примерах с книгами это суждение имело бы вид: «Некоторые английские книги старые».

Итак, мы видим, что одна диаграмма

позволяет представить не менее трех суждений, а именно:

  1. «Некоторые xy существуют»,
  2. «Некоторые x суть y»,
  3. «Некоторые y суть x».

Следовательно, эти три суждения эквивалентны.

В примере с книгами тремя перечисленными суждениями являются суждения:

  1. «Некоторые старые английские книги существуют»,
  2. «Некоторые старые книги английские»,
  3. «Некоторые английские книги старые».

Два эквивалентных суждения «Некоторые x суть y» и «Некоторые y суть x» называются  обратными, а переход от одного из них к другому —  обращением суждения.

Предположим, что нам необходимо обратить суждение «Некоторые яблоки неспелые». Прежде всего необходимо выбрать «Вселенную» (пусть ею будут, например, «фрукты») и дополнить суждение, введя существительное «фрукты» в предикат, после чего оно примет вид: «Некоторые яблоки — (суть) неспелые фрукты». Затем мы должны обратить суждение, поменяв местами его термины. В результате получится суждение «Некоторые неспелые фрукты — яблоки».

Аналогично можно представить на диаграмме три «трио» эквивалентных суждений. Полный набор из четырех трио имеет следующий вид:

  1. «Некоторые xy существуют» = «Некоторые x суть y» = «Некоторые y суть x»,
  2. «Некоторые xy' существуют» = «Некоторые x суть y'» = «Некоторые y' суть x»,
  3. «Некоторые x'y существуют» = «Некоторые x' суть y» = «Некоторые y суть x'»,
  4. «Некоторые x'y' существуют» = «Некоторые x' суть y'» = «Некоторые y' суть x'».

Рассмотрим далее суждение «Ни один x не есть y». В нем утверждается, что ни один предмет, находящийся на северной половине, не находится в то же время на западной половине. Следовательно, в клетке, принадлежащей одновременно северной и западной половинам диаграммы, то есть в северо-западной клетке, нет ничего. То же самое можно выразить иначе, сказав, что северо-западная клетка пуста. Эту ситуацию мы можем изобразить, поставив на северо-западную клетку черную фишку:

В нашем излюбленном примере с книгами суждение «Ни один x не есть y» звучит так: «Ни одна старая книга не английская».

Рассмотрим теперь суждение «Ни один y не есть x». В нем утверждается, что ни один предмет, находящийся на западной половине диаграммы, не находится одновременно на северной ее половине. Следовательно, в клетке, принадлежащей одновременно северной и западной половинам, ничего нет, эта клетка пуста. Эту ситуацию мы можем изобразить, поставив на северо-западную клетку черную фишку:

В «книжном» примере суждению «Ни один y не есть x» отвечает суждение «Ни одна английская книга не старая».

Мы видим, что одна диаграмма

позволяет представить не менее трех суждений, а именно:

  1. «Ни один xy не существует»,
  2. «Ни один x не есть y»,
  3. «Ни один y не есть x».

Следовательно, эти три суждения эквивалентны.

В уже знакомом примере с книгами такими тремя суждениями будут:

  1. «Ни одна старая английская книга не существует»,
  2. «Ни одна старая книга не английская»,
  3. «Ни одна английская книга не старая».

Два эквивалентных суждения — «Ни один x не есть y» и «Ни один y не есть x» — называются обратными.

Предположим, что нам необходимо обратить суждение «Ни один дикобраз не разговорчив». Выбрав «Вселенную» (например, «животные»), пополним суждение — добавим существительное «животные» в предикат, в результате чего получится суждение «Ни один дикобраз не есть разговорчивое животное». Обратим это суждение, поменяв местами его термины. Обращенное суждение будет иметь вид: «Ни одно разговорчивое животное не есть дикобраз».

Аналогичным образом можно представить на диаграмме и три родственных трио эквивалентных суждений. Полный набор из четырех трио имеет следующий вид:

  1. «Ни один xy не существует» = «Ни один x не есть y» = «Ни один y не есть x»,
  2. «Ни один xy' не существует» = «Ни один x не есть y'» = «Ни один y' не есть x»,
  3. «Ни один x'y не существует» = «Ни один x' не есть y» = «Ни один y не есть x'»,
  4. «Ни один x'y' не существует» = «Ни один x' не есть y'» = «Ни один y' не есть x'».

Рассмотрим далее суждение «Все x суть y».

Мы знаем (см. выше), что это — двойное суждение, эквивалентное двум суждениям: «Некоторые x суть y» и «Ни один x не есть y'». Как представить каждое из них на диаграмме, нам уже известно:

Обратите внимание на то, что в данном суждении субъект суждения решает, какой из половин диаграммы мы должны воспользоваться, а предикат суждения уточняет, на какую из клеток выбранной половины надлежит поставить красную фишку.

Рассмотрим, наконец, двойное суждение «Некоторые x суть y, и некоторые x суть y'». Как представить на диаграмме каждую его часть, нам уже известно. В результате мы получаем диаграмму

Читателю вновь придется обратиться к своему гениальному другу, чтобы тот с пристрастием допросил его по таблицам II и III.

У инквизитора должны быть таблицы, у жертвы — лишь чистая диаграмма и фишки, с помощью которых он будет изображать различные суждения, называемые его приятелем: «Некоторые y существуют», «Ни один y' не есть x'», «Все x суть y», и т.д. и т.п.

ТАБЛИЦА II

Некоторые x существуют

Ни один x не существует

Некоторые x' существуют

Ни один x' не существует

Некоторые y существуют

Ни один y не существует

Некоторые y' существуют

Ни один y' не существует

 

ТАБЛИЦА III

Некоторые xy существуют =
= Некоторые x суть y =
= Некоторые y суть x

Все x суть y

Некоторые xy' существуют =
= Некоторые x суть y' =
= Некоторые y' суть x

Все x суть y'

Некоторые x'y существуют =
= Некоторые x' суть y =
= Некоторые y суть x'

Все x' суть y

Некоторые x'y' существуют =
= Некоторые x' суть y' =
= Некоторые y' суть x'

Все x' суть y'

Ни один xy не существует =
= Ни один x не есть y =
= Ни один y не есть x

Все y суть x

Ни один xy' не существует =
= Ни один x не есть y' =
= Ни один y' не есть x

Все y суть x'

Ни один x'y не существует =
= Ни один x' не есть y =
= Ни один y не есть x'

Все y' суть x

Ни один x'y' не существует =
= Ни один x' не есть y' =
= Ни один y' не есть x'

Все y' суть x'

 

Некоторые x суть y и
Некоторые x суть y'

Некоторые y суть x и
Некоторые y суть x'

Некоторые x' суть y и
Некоторые x' суть y'

Некоторые y' суть x и
Некоторые y' суть x'

 

Глава IV
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДВУХБУКВЕННОЙ ДИАГРАММЫ С РАССТАВЛЕННЫМИ НА НЕЙ ФИШКАМИ

Предположим, что на лежащей перед нами диаграмме фишки уже расставлены. Задача состоит в том, чтобы выяснить, какому суждению (или каким суждениям) отвечает создавшаяся позиция. Поскольку метод решения сводится к обращению всех рассуждений, приведенных в предыдущей главе, мы, естественно, можем прийти лишь к тем результатам, которые в ней уже изложены.

Начнем с красной фишки, стоящей на северо-западной клетке:

Мы уже знаем, что такая позиция соответствует любому из трех эквивалентных суждений: «Некоторые xy существуют» = «Некоторые x суть y» = «Некоторые y суть x».

Предположим теперь, что в анализируемой нами позиции на северо-западной клетке стоит черная фишка

Как известно, эта позиция означает любое из трех эквивалентных суждений: «Ни один xy не существует» = «Ни один x не есть y» = «Ни один y не есть x».

Предположим далее, что красную фишку мы обнаружили стоящей на границе между двумя клетками северной половины диаграммы

Мы знаем, что эта позиция означает суждение «Некоторые x существуют».

Рассмотрим теперь случай, когда на северной половине диаграммы стоят две красные фишки — по одной на каждой клетке:

Мы знаем, что такая позиция отвечает двойному суждению «Некоторые x суть y, и некоторые x суть y'».

Пусть теперь на северной половине диаграммы — по одной в каждой клетке — стоят две черные фишки:

Этот случай, как известно, отвечает суждению «Ни один x не существует».

Предположим, наконец, что на северной половине диаграммы стоят красная и черная фишки: красная — на северо-западной клетке, черная — на северо-восточной:

Мы знаем, что этой ситуации отвечает суждение «Все x суть y». (Обратите внимание на то, что субъект суждения определяется той половиной диаграммы, на которой стоят фишки, а предикат — той клеткой, которая занята красной фишкой).

И снова вам придется обратиться к вашему гениальному другу и попросить его проэкзаменовать по таблицам II и III. На этот раз вам придется не только представлять на диаграмме различные суждения, но и интерпретировать диаграммы, на которых ваш приятель расставит фишки.

Вопросы и ответы могут выглядеть примерно так:

Вопрос. Изобразите на диаграмме суждение «Ни один x' не есть y'».
Ответ. Черная фишка на юго-восточной клетке.
Вопрос. Что означает красная фишка, стоящая на восточной половине диаграммы?
Ответ. «Некоторые y' существуют».
Вопрос. Изобразите на диаграмме суждение «Все y' суть x».
Ответ. Красная фишка на северо-восточной клетке, черная — на юго-восточной.
Вопрос. Что означает черная фишка, стоящая на юго-западной клетке?
Ответ. «Ни один x'y не существует» = «Ни один x' не есть y» = «Ни один y не есть x'».
И т.д. и т.п.

Сначала экзаменующийся будет нуждаться в диаграмме и фишках, но очень скоро научится обходится без них, отвечая с закрытыми глазами или устремив взгляд в пространство.