Представим себе, что у нас имеется набор из трех или большего числа двухбуквенных суждений, все термины которых являются видами одного и того же рода. Суждения эти связаны между собой так, что, взяв определенную пару суждений, мы получим заключение, присоединив к нему новое суждение — другое заключение и т.д. до тех пор, пока не переберем все суждения, входящие в набор. Ясно, что если бы суждения исходного набора были истинными, то и окончательное заключение было бы истинным.
Такой набор вместе с присоединенным к нему последним заключением называется соритом. Исходный набор суждений называется посылками, каждое из промежуточных заключений — частным заключением, последнее заключение — полным заключением, или просто заключением. Род, видами которого являются все термины, мы будем называть Вселенной рассмотрения, или кратко — Вселенной, сорита; исключаемые термины входящих в сорит силлогизмов — исключаемыми терминами сорита, а два оставшихся термина, вошедших в его заключение, — оставляемыми терминами сорита. (Заметим, что каждое частное заключение содержит один или два исключаемых термина, но в полное заключение входят лишь оставляемые термины).
О заключении говорят, что оно следует из посылок. Перед ним обычно либо ставят слово «следовательно», либо отделяют его от посылок горизонтальной чертой. Подчеркнем, что вопрос о том, следует ли данное заключение из посылок, не зависит от фактической истинности или ложности любого из суждений, входящих в сорит, а определяется исключительно взаимосвязью между суждениями.
В качестве примера сорита рассмотрим следующий набор из 5 суждений:
Взяв первое и второе суждения, получим заключение «Ни одно a не есть c'». Взяв его вместе с третьим суждением, получим заключение «Ни одно a не есть d'». Из него и четвертого суждения следует заключение «Ни одно d' не есть e'». Из последнего, взятого вместе с пятым суждением, следует заключение «Все h суть d». Таким образом, если бы исходные суждения были истинными, то и полученное заключение было бы истинным.
Итак, исходные 5 суждений вместе с суждением «Все h суть d» образуют сорит. Исходные суждения служат посылками сорита, суждение «Все h суть d» — его заключением; a, b, c, e — исключаемыми терминами сорита, а d и h — его оставляемыми терминами.
Весь сорит в целом можно представить в следующем виде:
В этом сорите тремя частными заключениями случат суждения «Ни одно a не есть c'», «Ни одно a не есть d'», «Ни одно d' не есть e'». При другом расположении посылок частные заключения могли бы быть иными. Например, если бы мы брали суждения в последовательности 4, 1, 5, 2, 3, то частными заключениями были бы суждения «Ни одно c' не есть b'», «Все h суть b», «Все h суть c». Всего в этом сорите имеется девять частных заключений. Найти их мы предоставляем читателю в качестве интересной задачи.
Задачи, которые нам предстоит решать, формулируются следующим образом: «Дано три или большее число суждений отношения. Приняв их за посылки, установить, какое заключение (если таковое существует) из них следует».
Пока мы ограничимся лишь теми задачами, которые можно решать с помощью формул фигуры I (см. книгу VI, глава III, § 2). Задачи, требующие для своего решения иных формул, слишком трудны для начинающих.
Задачи рассматриваемого нами типа можно решать с помощью любого из двух методов:
Рассмотрим каждый из методов в отдельности.
Правила, которых надлежит придерживаться при решении задач методом отдельных силлогизмов, сводятся к следующему.
В качестве примера рассмотрим следующий набор посылок:
Вселенная — «люди», a = Амос Джадд, b = кузены нашей кухарки, c = сидевшие в тюрьме, d = с длинными волосами, e = любящие холодную баранину, h = поэты, k =полисмены этой округи, l = ужинающие с нашей кухаркой.
Представим исходные посылки в индексной форме. Для этого прежде всего следует представить их в абстрактной форме:
Представить абстрактные суждения в индексной форме не составляет уже никакого труда:
Найдем теперь две посылки, из которых следует заключение. Для этого возьмем первую посылку и будем перебирать по порядку все остальные до тех пор, пока не дойдем до посылки, которая вместе с первой образует фигуру I .Такой посылкой как нетрудно видеть, будет посылка 5 (k — исключаемый термин). Следовательно, первым будет силлогизм
Возьмем заключение l'h0 и подыщем ему пару среди оставшихся шести посылок. Искомым суждением окажется посылка 2 (h — исключаемый термин), поэтому наш второй силлогизм будет иметь вид:
Посылки 1, 5 и 2 мы уже использовали, поэтому пару для заключения l'd0 необходимо искать среди оставшихся посылок. Взяв посылку 6, получим третий силлогизм:
Какая посылка образует пару с db'0 ? Очевидно, посылка 4. Четвертый силлогизм имеет вид:
Присоединив к заключению 11 посылку 7, получим
Наконец, взяв заключение 12 и посылку 3, построим последний силлогизм
Переведем полное заключение сначала в абстрактную:
«Все a суть e»,
а затем в конкретную форму:
«Амос Джадд любит холодную баранину».
Разумеется, при решении задач столь подробные объяснения совершенно излишни. На листке бумаги обычно остается лишь запись вроде следующей:
Необходимо подчеркнуть, что при решении сорита по этому методу начинать можно с любой посылки.
Рассмотрим пару посылок
xm0†ym'0,
из которых следует заключение xy0.
Чтобы получить xy0, мы должны, как явствует из формулы, исключить m и m' и написать x и y рядом, в одном выражении.
Условимся считать буквы m и m' исключенными и читать оба выражения как одно. Тогда из двух посылок у нас в точности получится заключение, и нам не придется выписывать его отдельно.
Исключенные буквы будем подчеркивать: первую букву — одной чертой, вторую — двумя. Тогда исходные посылки примут вид
xm0 † ym'0,
и читать их надо будет как xy0.
Выписывая посылки для подчеркивания, удобно опускать все индексы: нули можно и без того считать стоящими у всех выражений, а из единиц нас будут интересовать лишь те, которые стоят у букв, входящих в полное заключение (ибо зачем нам знать, утверждается ли что-либо о существовании терминов, которые все равно будут исключены). Эти единицы нетрудно восстановить по исходному выражению.
Рассмотрим решение сорита методом подчеркивания более подробно на примере из § 2. Исходные данные:
Читателю рекомендуется взять листок бумаги и выписать для себя это решение. Первая строка записи будет состоять из исходных данных, вторая будет составляться мало-помалу в процессе решения.
Прежде всего выпишем первую посылку, сохранив порядковый номер, стоящий над ней, но опустив все индексы. Затем мы должны найти посылку, которая «согласуется» с первой, то есть содержит либо k', либо l. Просматривая посылки слева направо, мы обнаружим, что такой посылкой является посылка 5, и присоединим ее к первой, поставив между ними знак † .
Чтобы вывести заключение, необходимо исключить из посылок 1 и 5 термины k и k', а то, что при этом получится, представить в виде одного выражения. Подчеркнем k одной чертой, а k' — двумя и получим l'h.
Теперь нам нужно найти посылку, содержащую либо l, либо h'. Просматривая посылки одну за другой, мы обнаруживаем, что этому условию удовлетворяет посылка 2, и присоединяем ее к ранее выписанным.
Три посылки-химеры (1, 5, 2) в действительности эквивалентны выражению l'h † dh', из которого необходимо исключить термины h и h', а то, что получится, записать в виде одного выражения. Подчеркнем h и h'. У нас останется l'd.
Найдем посылку, содержащую либо l, либо d'. Такой посылкой оказывается посылка 6.
Четыре посылки-химеры, стоящие теперь во второй строке, эквивалентны выражению l'd † b'l. Подчеркнув l и l', получим db'.
Ищем посылку, содержащую либо d', либо b. Это будет посылка 4. Подчеркнув b и b', получим заключение de'.
После этого нам необходимо найти посылку, содержащую либо d', либо e. Такой посылкой является посылка 7. Подчеркнув d и d', получим заключение e'c'.
Теперь нам нужно найти посылку, содержащую либо e, либо c. Такой посылкой является посылка 3 (можно сказать, должна быть посылка 3, ибо других посылок не осталось).
Подчеркнув c' и c мы обнаружим, что все длинное выражение эквивалентно e'a. Поэтому e'a можно рассматривать как заключение сорита и присоединить к цепочке посылок знаком P .
Здесь мы должны вернуться к исходным данным и проверить, не содержится ли в них утверждение о существовании e' или a. Утверждение о существовании a мы обнаружим в посылке 3. Добавив этот факт к заключению, запишем последнее в виде P e'a0 † a1, то есть P a1e'0, или «Все a суть e».
Если читатель строго следовал всем указаниям, у него должна получиться следующая запись решения:
то есть P a1e'0, или «Все a суть e».
Рекомендую читателю взять еще один листок бумаги, переписать исходные данные и попытаться самостоятельно решить сорит, начав с какой-нибудь другой посылки. Если не удастся прийти к заключению a1e'0, то я настоятельно советую взять еще один (третий по счету) листок бумаги и начать все сначала!
Чтобы дать читателю образец, достойный подражания, я кратко рассмотрю решение сорита из 5 посылок.
Вселенная — «вещи», a = подаренные мне Джоном, b = даваемые мной собаке, c = которыми я особенно дорожу, d = которые приходятся по вкусу моей собаке, e = которые я очень берегу, h = эта косточка.
то есть «Ничто из того, что я даю моей собаке, не приходится ей по вкусу», или «Моя собака недовольна тем, то я ей даю!»
Обратите внимание на то, что при решении сорита методом подчеркивания начинать можно с любой посылки. Например, мы могли бы начать с посылки 5. Тогда вторая строка (решение) выглядела бы так:
Читатель, который успешно преодолел все приводившиеся до сих пор примеры и, подобно Александру Македонскому, жаждет «Новых миров для покорения», может израсходовать свою энергию на следующие 17 экзаменационных билетов. Отвечать более чем на один билет в день не рекомендуется.