Книга VI
Метод индексов

• Глава I  Введение
• Глава II  Представление суждений отношения
• Глава III  Силлогизмы
•   § 1. Представление силлогизмов
•   § 2. Формулы для решения задач на силлогизмы
•   § 3. Логические ошибки
•   § 4. Метод обнаружения ошибки в данной паре суждений

Глава I
ВВЕДЕНИЕ

Условимся считать, что x₁ означает «Некоторые реальные существующие предметы обладают признаком x», или (более кратко) «Некоторые x существуют». Пусть xy₁ означает «Некоторые xy существуют» и т.д. Такие суждения мы будем называть «реальностями» (Если выражение содержит две буквы, то не имеет ни малейшего значения, какая из них стоит первой:  xy₁ означает в точности то же самое, что и yx₁. Об этом не следует забывать.)

Пусть x₀ означает суждение «Ни один реально существующий предмет не обладает признаком x», или (более кратко) «Ни один x не существует», выражение xy₀ — суждение «Ни один xy не существует» и т.д. Такие суждения мы будет называть «химерами».

Условимся считать, что знак † означает «и». Таким образом, ab₁ † cd₀ должно означать, «Некоторые ab существуют, и ни одно cd не существует».

Условимся также считать, что знак P означает, что «из суждения, стоящего слева от знака, если оно истинно, следует суждение, стоящее справа от знака».

Так, x₀ P xy₀ должно означать «Из суждения „Ни один x не существует“, если оно истинно, следует суждение „Ни один xy не существует“».

Если каждая из двух букв имеет штрихи или, наоборот, ни одна из двух букв не имеет штрихов, то говорят, что эти две буквы «одного знака». Если же одна из букв имеет штрих, а другая не имеет, то говорят, что эти буквы имеют «различные знаки».

Глава II
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ ОТНОШЕНИЯ

Начнем с суждения «Некоторые x суть y». Как мы уже знаем (книга III «Двухбуквенная диаграмма», глава 3, § 3), оно эквивалентно суждению существования «Некоторые xy существуют». Следовательно, в наших обозначениях оно имеет вид xy₁.

Аналогично можно записать и три однотипные пары обратных суждений.

Рассмотрим теперь суждение «Ни один x не есть y». Как мы уже знаем (книга III «Двухбуквенная диаграмма», глава 3, § 3), оно эквивалентно суждению существования «Ни один xy не существует». Следовательно, в наших обозначениях оно имеет вид xy₀. Разумеется, обратное суждение «Ни один y не есть x» записывается точно так же: xy₀.

Аналогичным образом выглядят в новых обозначениях и три однотипных пары обратных заключений.

Рассмотрим, далее, суждение «Все x суть y». Ясно, что двойное суждение существования «Некоторые x существуют, и ни один xy' не существует» говорит нам, что некоторые x-предметы существуют, но ни один из них не обладает признаком y'. Это означает, что все x-предметы обладают признаком y то есть «Все x суть y». Отсюда ясно, что этому двойному суждению соответствует выражение x₁ † xy₀ и что точно так же записывается суждение «Все x суть y».

Утверждение о том, что суждение «Все x суть y» эквивалентно двойному суждению «Некоторые x существуют, и ни один xy' не существует», может вызвать недоумение у читателя, помнящего, что в § 3 главы 3 книги II «Суждения» утверждалось нечто иное. Мы говорили там, что оно эквивалентно двойному суждению «Некоторые x суть y и ни один x не есть y'» (то есть «Некоторые xy существуют, и ни один xy' не существует»). Объясняется это тем, что суждение «Некоторые xy существуют» содержит избыточную информацию. Для наших целей достаточно более узкого суждения «Некоторые x существуют».

То же выражение можно записать в еще более кратком виде: x₁y'₀, поскольку действие каждого индекса распространяется от того места, где он стоит, до начала всего выражения.

При переводе суждения, начинающегося со слова «все», из абстрактной формы в индексную или наоборот полезно иметь в виду, что предикат изменяет свой знак. Так, суждение «Все y суть x'» в новых обозначениях имеет вид y₁x₀ — предикат, бывший x', стал x, то есть изменил свой знак. Еще пример. Выражение x'₁y'₀ в абстрактной форме имеет вид суждения «Все x' суть y». Здесь предикат также изменил свой знак: был y', стал y.

Глава III
СИЛЛОГИЗМЫ

§ 1. Представление силлогизмов

Мы уже знаем, как записать с помощью индексов каждое из трех суждений, образующих силлогизмы. После того как это сделано, необходимо лишь расположить все три полученных выражения в строку, вставить между посылками знак † , а перед заключением — знак P . Так, силлогизм

Ни один x не есть m',

Все m суть y.

Ни один x не есть y'

можно представить в виде

xm'₀ † m₁y'₀ P xy'₀

При переводе суждения из конкретной формы в индексную первое время удобно переводить его сначала в абстрактную форму и лишь затем записывать с помощью индексных обозначений. Приобретя небольшой опыт, читатель сможет без труда переводить конкретные суждения непосредственно в индексную форму.

§ 2. Формулы для решения задач на силлогизмы

Коль скоро мы установили с помощью диаграмм. какое заключение следует из данной пары посылок, и записали силлогизм в индексных обозначениях, мы получили формулу, позволяющую сразу, без диаграмм. выводить заключение из любой другой пары посылок, имеющих ту же индексную форму. Например, выражение

xm₀ † ym'₀ P xy₀

есть формула, позволяющая выводить заключение из любых двух посылок вида

xm₀ † ym'₀

Предположим, что мы рассматриваем суждения

«Ни один обжора не здоров»

«Ни один нездоровый человек не силен»,

считая их посылками силлогизма. Выбрав «людей» в качестве «Вселенной рассмотрения» и положив m = здоровые, x = обжоры, y = сильные, представим суждения в абстрактной форме:

«Ни один x не есть m»

«Ни один m' не есть y»

В индексных обозначениях их можно записать так:

xm₀ † ym'₀

Следовательно, эти посылки тождественны посылкам в нашей формуле. Отсюда мы сразу получаем заключение

xy₀

или, в абстрактной форме,

«Ни один x не есть y».

В конкретной форме это заключение звучит так: «Ни один обжора не силен».

Теперь я возьму три различные формы, которые могут принимать пары силлогизмов, и с помощью диаграмм раз и навсегда выведу из них заключения. В результате я получу некоторые весьма полезные формулы, которые в дальнейшем буду называть фигура I, фигура II и фигура III.

Фигура I. К фигуре I относится любая пара посылок, состоящая из суждений-химер и содержащая исключаемые термины различных знаков.

В простейшем случае посылки фигуры I имеют вид

xm₀ † ym'₀.

Следовательно, xy₀.

Мы видим, что и заключение является суждением-химерой, а оставляемые термины сохраняют свои знаки. Это правило, как мы убедимся, справедливо для любой пары посылок, удовлетворяющей перечисленным выше условиям. Читатель может убедиться в этом сам, рассмотрев с помощью диаграмм несколько вариантов посылок, например следующие:

m₁x₀ † ym'₀     (  P xy₀ ),

xm'₀ † m₁y₀     (  P xy₀ ),

x'm₀ † ym'₀     (  P x'y₀ ),

m'₁x'₀ † m₁y'₀     (  P x'y'₀ ),

Если в посылках утверждается, что какой-то из оставляемых членов существует, то и в заключении можно утверждать, что он существует. Таким образом, фигура I делится на два варианта:

1. в заключении силлогизма делается утверждение о существовании одного оставляемого члена;
2. в заключении силлогизма делается утверждение о существовании обоих оставляемых членов.

Читателю рекомендуется самостоятельно рассмотреть с помощью диаграмм примеры того и другого вариантов:

m₁x₀ † y₁m'₀     (  P y₁x₀ ),

x₁m'₀ † m₁y₀     (  P x₁y₀ ),

x'₁m₀ † y₁m'₀     (  P x'₁y₀ † y₁x'₀).

Итак, полезно запомнить формулу

xm₀ † ym'₀ P xy₀

со следующими двумя правилами:

1. из двух суждений-химер с исключаемыми терминами различных знаков следует суждение-химера, в котором оба сохраняемых термина имеют те же знаки, что и в посылках;
2. если в посылках делается утверждение о существовании какого-нибудь из оставляемых терминов, то и в заключении силлогизма можно утверждать, что этот сохраняемый термин существует.

Фигура II. К фигуре II относится любая пара посылок, состоящая из одного суждения-химеры и одного суждения-реальности и содержащая исключаемые термины одинаковых знаков.

В простейшем случае такая пара посылок имеет вид

xm₀ † ym₁.

Следовательно, x'y₁.

Мы видим, что заключение в этом случае является суждением-реальностью, а оставляемый термин-химера изменил свой знак.

Это правило, как нетрудно видеть, справедливо для любой пары посылок, относящихся к фигуре II. Читатель может убедиться в этом, рассмотрев с помощью диаграмм несколько пар посылок, относящихся к фигуре II, например:

x'm₀ † ym₁     ( P xy₁ ),

x₁m'₀ † y'm'₁     ( P x'y'₁ ),

m₁x₀ † y'm₁     ( P x'y'₁ ).

Формула, которую полезно запомнить, имеет в этом случае вид:

xm₀ † ym₁ P x'y₁ .

Пользуясь ею, не следует забывать и о правиле: из суждения-химеры и суждения-реальности с исключаемыми терминами одинаковых знаков следует суждение-реальность, в котором термин, оставляемый из суждения-химеры, имеет иной знак, чем в посылке.

Это правило есть не что иное, как словесное выражение формулы.

Фигура III. К фигуре III относится любая пара посылок, состоящая из двух суждений-химер, в которых утверждается существование исключаемых терминов с одинаковыми знаками.

В простейшем случае пара посылок, относящаяся к фигуре III, имеет вид

xm₀ † ym₀ † m₁

(Обратите внимание, что утверждение о существовании термина m выделено, поэтому несущественно, в какую из двух посылок входит термин m. Приведенная выше формула охватывает, таким образом, три случая: m₁x₀ † ym₀ , xm₀ † m₁y и m₁x₀ † m₁y₀.)

Следовательно, x'y'₁.

Мы видим, что заключением в этом случае является суждение-реальность, и что оба оставляемых термина изменили свой знак. Правило справедливо для любой пары посылок, принадлежащих к фигуре III. Читатель может убедиться в этом, рассмотрев с помощь диаграмм несколько примеров:

x'm₀ † m₁y₀     ( P xy'₁ ),

m'₁x₀ † m'y'₀     ( P x'y₁ ),

m₁x'₀ † m₁y'₀     ( P xy₁ ),

Формула, которую полезно запомнить, имеет следующий вид:

xm₀ † ym₀ † m₁ P x'y'₁ .

Правило (по существу пересказ формулы) на этот раз звучит так: из двух суждений-химер, в которых утверждается существование исключаемых терминов одного знака, следует заключение-реальность, в котором оба сохраняемых термина имеют иной знак, чем в посылках.

Чтобы читателю было легче запомнить особенности и формулы тех фигур, я свел их в одну таблицу.

ТАБЛИЦА IX

Фигура I

xm₀ † ym'₀ P xy₀

Из двух химер с исключаемыми терминами различных знаков следует химера, в которой оба сохраняемых термина имеют те же знаки, что и в посылках.

Если в посылках делается утверждение о существовании какого-нибудь и оставляемых терминов, то и в заключении силлогизма можно утверждать, что этот сохраняемый термин существует.

Фигура II

xm₀ † ym₁ P x'y₁

Из химеры и реальности c исключаемыми терминами одинаковых знаков следует реальность, в которой термин, оставляемый из суждения-химеры, имеет иной знак, чем в посылках.

Фигура III

xm₀ † ym₀ † m₁ P x'y'₁ .

Из двух химер, в которых утверждается существование исключаемых терминов одного знака, следует реальность, в которой оба сохраняемых термина имеют иной знак, чем в посылках.

Пользуясь этими формулами, рассмотрим несколько задач на силлогизмы, которые уже были решены в книге V «Силлогизмы», глава II, § 2 и § 3 с помощью диаграмм. При самостоятельном решении задач читатель может использовать эти примеры в качестве образцов.

I

Ни один мой сын не мошенник.

К честному человеку люди всегда относятся с уважением.

Вселенная — «люди», m = честные, x = мои сыновья, y = пользующиеся уважением.

xm'₀ † m₁y'₀ P xy'₀      (фигура Iб),

то есть

Ни к одному из моих сыновей никто никогда не относится без уважения.

II

Все кошки знают французский язык.

Некоторые цыплята — кошки.

Вселенная — «живые существа», m = кошки, x = знающие французский язык, y = цыплята.

m₁x'₀ † ym₁ P xy₁      (фигура II),

то есть

Некоторые цыплята знают французский язык.

III

Все солдаты сильные.

Все солдаты храбрые.

Некоторые сильные люди храбры.

Вселенная — «люди», m = солдаты, x = сильные, y = храбрые.

m₁x'₀ † m₁y'₀ P xy₁      (фигура III),

то есть заключение силлогизма правильно.

IV

Я восхищен этими картинами.

Когда я что-нибудь меня восхищает, мне хочется разглядеть это «что-нибудь» особенно внимательно.

Некоторые из этих картин я хочу разглядеть особенно внимательно.

Вселенная — «предметы», m = то, что восхищает меня, x = эти картины, y = предметы, которые я хочу разглядеть особенно внимательно.

x₁m'₀ † m₁ym'₀ P x₁y'₀      (фигура Iа),

Следовательно, заключение xy₁ неполно; полное заключение формулируется так:

Все эти картины я хочу разглядеть особенно внимательно.

V

Лишь тот, кто храбр, достоин славы.

Некоторые хвастуны — трусы.

Некоторые хвастуны недостойны славы.

Вселенная — «люди», m = храбрые, x = достойные славы, y = хвастуны.

m'x₀ † ym'₁ P x'y₁      (фигура II).

Заключение силлогизма правильно.

VI

Никому из тех, кто хочет ехать поездом, кто не может достать экипаж и кто не имеет времени, чтобы спокойно дойти до станции, не миновать пробежки.

Эти туристы намереваются ехать поездом, но не могут достать экипаж, зато у них достаточно времени, чтобы спокойно дойти до станции.

Этим туристам не придется бежать.

Вселенная — «те, кто хочет ехать поездом и не может достать экипаж», m = имеющие достаточно времени, чтобы спокойно дойти до станции, x = те, кому нужно бежать, y = эти туристы.

m'x'₀ † y₁m'₀.

Эта формула не подходит ни к одной из трех фигур. Следовательно, необходимо обращаться к методу диаграмм, что мы и сделали в § 3 главы II книги V «Силлогизмы».

Заключения нет.

---

Примечание. Одно из излюбленных возражений, выдвигаемых против логики ее недругами, состоит в том, что силлогизм не имеет доказательной силы, поскольку якобы содержит логическую ошибку, известную под названием предвосхищения основания («утверждается то, что еще требуется доказать»): по их мнению, заключение силлогизма целиком входит в одну из посылок.

Столь грозное (на первый взгляд) возражение ясно, просто и изящно опровергается тремя диаграммами, из которых видно, что в каждой из трех фигур заключение в действительности содержится в двух взятых вместе посылках и каждая из посылок вносит в заключение свою долю.

Так, если мы возьмем фигуру I, то посылка xm₀ «опустошает» внутреннюю клетку северо-западной четверти диаграммы, в то время как посылка ym₀ «опустошает» наружную клетку той же четверти. Следовательно, для того чтобы пустой была вся северо-западная четверть диаграммы и мы могли вывести заключение xy₀, необходимы обе посылки.

Рассмотрим далее, фигуру II. Посылка xm₀ указывает, что внутренняя клетка северо-западной четверти пуста. Посылка ym₁ утверждает лишь, что внутренняя часть западной половины диаграммы занята и где-то на ней может стоять единица. Не будь у нас других сведений, мы не могли бы решить, в какую из клеток следует вписать единицу и последнюю пришлось бы отправлять «на стенку». Лишь после того, как другая посылка сообщит, что пуста верхняя из двух клеток, образующих внутреннюю часть западной половины, мы чувствуем себя вправе поставить единицу в нижнюю клетку и тем самым вывести заключение x'y₁.

Наконец, при рассмотрении фигуры III суждение «Некоторые m существуют» позволяет вписать единицу в какую-то из клеток внутреннего квадрата, оставляя широкий простор для выбора стенки, на которой должна сидеть наша единица. Чтобы исключить северную половину внутреннего квадрата. необходимо воспользоваться посылкой xm₀; чтобы исключить западную половину — посылкой ym₀. Следовательно, чтобы «загнать» единицу во внутреннюю часть северо-восточной четверти диаграммы и таким образом вывести заключение x'y'₁, необходимо использовать обе посылки.

§ 3. Логические ошибки

Любое рассуждение, которое подводит нас, создавая видимость доказательства там, где его в действительности нет, может быть названо логической ошибкой. Сейчас нас будет интересовать ошибка особого рода. Она состоит в том, что из пары суждений, претендующих на роль посылок в некоем силлогизме, нельзя вывести никакого заключения.

Если каждое из «подозреваемых» суждений принадлежит к типу I, E или A (а других суждений мы не рассматриваем), то ошибку можно обнаружить с помощью метода диаграмм: для этого достаточно нанести суждения-кандидаты в посылки на трехбуквенную диаграмму и заметить, что из нее нельзя извлечь никаких сведений, которые можно было бы представить на двухбуквенной диаграмме.

Но представим себе, что мы используем метод индексов, и нам встретилась пара суждений, содержащих логическую ошибку. Как в этом случае обнаружить, что из псевдопосылок не следует заключения?

Мне кажется, что лучше всего поступить с ошибками так, как мы уже поступили с силлогизмами, то есть выбрать некоторые формы пар суждений, нанести их раз и навсегда на трехбуквенную диаграмму, убедиться, то заключение из них не следует, и, назвав их формулами ошибок, выписать отдельно аналогично тому, как ранее мы выписали три формулы силлогизмов.

Однако, если бы обе серии формул были записаны одним и тем же способом, например, по методу индексов, то возникла бы опасность из смешения. Чтобы избежать недоразумений, я предлагаю записывать формулы для ошибок словами и называть их не формулами, а формами.

Итак, с помощью метода диаграмм мы установим три формы ошибок, которые понадобятся нам в дальнейшем:

1. ошибка исключаемых терминов одного знака, существование которых не утверждается;
2. ошибка исключаемых терминов разных знаков с посылкой-реальностью;
3. ошибка двух посылок-реальностей.

Рассмотрим каждую из форм в отдельности и убедимся, что ни в одной из них из посылок не следует заключение.

1. Ошибка исключаемых терминов одного знака, существование которых не утверждается. Ясно, что ни одно из суждений-посылок не может быть реальностью, поскольку суждения этого типа утверждают, что оба их термина существуют. Следовательно, оба суждения — химеры. Это означает, что их можно представить в виде формулы xm₀ † ym₀ (с x₁ , y₁ или без x₁ , y₁).

На трехбуквенной диаграмме пары суждений, относящиеся к этой форме логических ошибок, выглядят так:

xm₀ † ym₀

x₁m₀ † ym₀

xm₀ †  y₁m₀

x₁m₀ † y₁m₀

2. Ошибка исключаемых терминов разных знаков с посылкой-реальностью. Суждения, образующие две посылки, в этом случае можно представить формулой xm₀ † xm'₁ (с x₁ , m₁ или без x₁ , m₁ ). Если такие суждения нанести на трехбуквенную диаграмму, то получится следующее:

xm₀ † ym'₁

x₁m₀ † ym'₁

m₁x₀ †  ym'₁

3. Ошибка двух посылок-реальностей. Посылки этого типа можно представить либо в виде xm₁ † ym₁, либо в виде xm₁ † ym'₁.

На трехбуквенной диаграмме они выглядят так:

xm₁ † ym₁

xm₁ † ym'₁

§ 4. Метод обнаружения ошибки в данной паре суждений

Предположим, что у нас имеются два суждения отношения, содержащие пару ко-классов, и мы хотим установить, какое заключение (если таковое существует) из них следует. Мы записываем оба суждения, если это необходимо, в индексной форме, а затем действуем по следующему плану:

1. Рассматриваем индексы, чтобы узнать, являются ли данные суждения:
1. двумя химерами;
2. химерой и реальностью;
3. двумя реальностями.
2. Если данные суждения образуют пару химер, мы приступаем к изучению исключаемых терминов суждений, чтобы установить, какие у них знаки: одинаковые или различные.

Если знаки исключаемых терминов различны, то перед нами фигура I и мы обращаемся к изучению оставляемых терминов, чтобы узнать, что именно утверждается: существование лишь одного из них или обоих. Если утверждается существование одного оставляемого термина, то перед нами фигура Iа; если двух — то Iб.

Если исключаемые термины суждений одного знака, то мы изучаем их, чтобы узнать, утверждается ли существование любого из них или нет. В первом случае мы имеет дело с фигурой III, во втором — с ошибкой исключаемых терминов одного знака, существование которых не утверждается.

3. Если одно суждение — реальность, а другое — химера, то мы рассматриваем их исключаемые термины, чтобы установить, одного ли или различных они знаков.

Если исключаемые термины одного знака, то мы имеем дело с фигурой II; если разных знаков — с ошибкой исключаемых терминов разных знаков с посылкой-реальностью.

4. Если оба суждения — реальности, то мы имеем дело с ошибкой двух посылок-реальностей.